Utilizzeremo come modello, il più semplice dei moti periodici, di cui si conoscono le leggi del moto e del periodo: il moto circolare uniforme.
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Un moto teorico come modello per il moto armonico
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Utilizzeremo come modello, il più semplice dei moti periodici, di cui si conoscono le leggi del moto e del periodo: il moto circolare uniforme. |
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Cosa hanno in comune il moto circolare e quello armonico? Le
analogie sono maggiori di quelle che possono sembrare a prima vista. Prima di
tutto il moto circolare è comunque un moto periodico, anzi è probabilmente
l'unico moto periodico che lo studente ha studiato prima del moto armonico. Inoltre anche per il moto circolare
l'accelerazione è sempre diretta lungo la direzione della congiungente il corpo
al centro (che altro non è che il raggio) ed ha verso rivolto verso il centro.
Nel moto circolare il modulo dell'accelerazione centripeta è costante, in
quanto anche il raggio è ovviamente costate, ma la relazione che la lega al
raggio è data da 
,
cioè è una relazione di proporzionalità diretta del tutto analoga a quella
del moto armonico. Può sembrare strano utilizzare un moto circolare per
modellizare un moto rettilineo, ma questo problema viene subito superato: il
nostro modello teorico sarà costituito dal moto della proiezione su une retta
(ad: esempio il diametro) di un punto che si muove di moto circolare
uniforme.
Velocità ed accelerazione di questo moto si potranno ottenere semplicemente
proiettando la velocità e l'accelerazione del moto circolare e dal momento che
il teorema di Talete, garantisce il conservarsi della proporzionalità per
proiezioni parallele, abbiamo la "quasi certezza" di avere tra
le mani un ottimo modello.
Nelle seguenti animazioni si può vedere spostarsi un punto su una circonferenza, per studiare come variano la posizione, la velocità e l'accelerazione della sua proiezione sul diametro. Accanto puoi vedere il grafico di queste grandezze in funzione dell'angolo al centro. Dal momento che tale angolo, nel moto circolare uniforme è direttamente proporzionale al tempo, tale grafico è identico a quello in funzione del tempo. Attraverso tali animazioni è possibile notare che il comportamento di tale "moto proiettato" è qualitativamente simile, nella descrizione della velocità e dell'accelerazione, a quanto detto in precedenza sul moto armonico: la velocità è massima al centro e diminuisce progressivamente fino ad annullarsi agli estremi, mentre l'accelerazione, sempre diretta verso il centro, è massima agli estremi e si annulla al centro. Si noti inoltre come il grafico della velocità corrisponda a quello dello spostamento, "differito" di un angolo retto, mentre quello dell'accelerazione è perfettamente opposto a quello dello spostamento.
Per poter rendere visibile questo modello teorico di moto, nei filmati seguente viene mostrato il movimento di un corpo fissato ad un disco che si muove uniformemente, proiettato su uno schermo, tramite un luce. Nel primo filmato si può vedere il disco e la sua proiezione, mentre il secondo rende apprezzabile solo il comportamento del moto proiettato sul diametro. (i filmati sono in formato streming video per Real Player)
Nei filmati che seguono sono stati messi a confronto la proiezione del moto circolare con un moto armonico di una molla, cercando, per quanto possibile, nei limiti di un errore sperimentale, di sincronizzare i due periodi di oscillazione. Tramite tali filmati è possibile rendersi conto della probabile coincidenza dei due moti.
Per convincersi di questo fatto basta far riferimento alla seguente animazione in cui, oltre all'accelerazione proiettata sul diametro, viene visualizzato un grafico cartesiano, con in ascissa lo spostamento x del moto proiettato e in ordinata la sua accelerazione a. La curva disegnata è un segmento di una retta tramite cui si evidenzia la proporzionalità diretta tra queste due grandezze. L'inclinazione verso il basso è da attribuirsi al segno del loro rapporto.
Andiamo ora a capire il perché di tale proporzionalità calcolando l'espressione dell'accelerazione nel nostro modello teorico e confrontandola con quella del moto armonico
